Question

这道题能用导数定义吗？

可是n是趋于无穷的，但是我不知道怎么做了

Answer 1

这一题就是用导数的定义做的

Answer 2

当然可以，
y=f(x)与y=sin2x在原点相切，
则可知有
f'(0)=2cos2x|x=0 =2
同时有f(0)=0
lim√n*f(4/n) =
lim√{f(0+4/n)-f(0)]/(4/n)*4}
由导数的定义：
lim{f(0+4/n)-f(0)]/(4/n)=f'(0)
所以，原极限=
√(4f'(0))=2√2

追答

还应该补上n趋向∞，
这里n趋向∞，则4/n趋向0
与导数的定义比较一下就可以得出是f'(0)

追问

可是，n不是趋于一个点😂

追答

n趋向无穷，4/n趋向0就行

导数的定义，△x趋向0时f'(x0)=
lim[f(x0+△x)-f(x0)]/△x
对照一下，x0=0, △x=4/n
就是我的答案里的形式了

为什么要趋于一个点呢？？

只要构造出增量，且增量△x趋向0即可。

追问

好的，我懂了，谢谢你

Answer 3

那个相切可以看成f(x)/sin(2x)=1当x趋于零时。因为切线一样，一阶线性逼近一样。然后求极限的时候，根号里面，
nf(4/n)=(f(4/n)/sin(2×4/n))×(sin(2×4/n)/(8/n))×8，然后当n趋于无穷时，4/n，8/n都是趋于零的，然后根号里面的值为8，开根号即为2√2。

Answer 4

可以的，肯定有巧妙方法