已知函数f（x）=lnx．（Ⅰ）若直线y=x+m与函数f（x）的图象相切，求实数m的值；（Ⅱ）证明曲线y=f（x）与
已知函数f（x）=lnx．（Ⅰ）若直线y=x+m与函数f（x）的图象相切，求实数m的值；（Ⅱ）证明曲线y=f（x）与曲线y=x-1x有唯一公共点；（Ⅲ）设0＜a＜b，比较...
已知函数f（x）=lnx．（Ⅰ）若直线y=x+m与函数f（x）的图象相切，求实数m的值；（Ⅱ）证明曲线y=f（x）与曲线y=x-1x有唯一公共点；（Ⅲ）设0＜a＜b，比较f(b)?f(a)b?a与2a+b的大小，并说明理由．
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（Ⅰ）f′(x)＝
，
设切点为（x0，y0），则k＝
＝1，
∴x0=1，y0=lnx0=0，
代入y=x+m．得m=-1．
（Ⅱ）令h(x)＝f(x)?(x?
)=lnx?x+
，
则h′(x)＝
?1?
＝
=
＜0，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递减．
又h（1）=ln1-1+1=0，∴x=1是函数h（x）唯一的零点，
故点（1，0）是两曲线唯一的公共点．
（Ⅲ）
=
=
，
要比较=
与
的大小，
∵b-a＞0，∴只要比较ln
与
的大小．
∵ln
?
=ln
?
，
构造函数φ（x）=lnx?
，（x＞1）
则φ′（x）=
?
=
| 1 |
| x |
设切点为（x0，y0），则k＝
| 1 |
| x0 |
∴x0=1，y0=lnx0=0，
代入y=x+m．得m=-1．
（Ⅱ）令h(x)＝f(x)?(x?
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
则h′(x)＝
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
| ?x2+x?1 |
| x2 |
?(x?
| ||||
| x2 |
∴h（x）在（0，+∞）上单调递减．
又h（1）=ln1-1+1=0，∴x=1是函数h（x）唯一的零点，
故点（1，0）是两曲线唯一的公共点．
（Ⅲ）
| f(b)?f(a) |
| b?a |
| lnb?lna |
| b?a |
ln
| ||
| b?a |
要比较=
ln
| ||
| b?a |
| 2 |
| a+b |
∵b-a＞0，∴只要比较ln
| b |
| a |
| 2(b?a) |
| b+a |
∵ln
| b |
| a |
| 2(b?a) |
| b+a |
| b |
| a |
2(
| ||
|
构造函数φ（x）=lnx?
| 2(x?1) |
| x+1 |
则φ′（x）=
| 1 |
| x |
| 4 |
| (x+1)2 |
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