Question

已知椭圆中心在坐标原点O，右准线方程为x=1，过左焦点作倾斜角为 的直线l与椭圆交于A，B两点。 　　（1

已知椭圆中心在坐标原点O，右准线方程为x=1，过左焦点作倾斜角为 的直线l与椭圆交于A，B两点。 　　（1）设点M是线段AB的中点，直线OM与AB夹角正切值是2，求椭圆方程；　　（2）当A，B分别位于第一、第三象限时，求椭圆的离心率的范围。

Answer 1

解：（1）设椭圆的方程为 ，由右准线 得 ，　　 所以 ，　　 所以椭圆方程为 ， 　　 过 倾斜角为 的直线l的方程为y=x+c，　　 代入椭圆方程得 ，　　 设 ，则 是上式的两根，　　 所以 ，　　 ，　　 所以 ， 所以 ，　　 由OM与AB夹角正切为2，　　 所以 ，解得 或c=-2（舍），　　 所以椭圆的方程为 ； （2）若A，B在一三象限，则 ，　　 所以 ，　　 因为 ，所以 ，　　 所以 即 ，　　 所以 。