怎么证明有理系数多项式f（x）不可约的充要条件是f(ax+b)不可约？
1个回答
关注
![]()
展开全部
由f(x)可约, 可设f(x) = g(x)h(x), 其中g(x),h(x)是次数不小于1的有理系数多项式.
于是f(ax+b) = g(ax+b)h(ax+b).
而a, b都是有理数且a ≠ 0, 故g(ax+b), h(ax+b)也是次数不小于1的有理系数多项式.
故f(ax+b)可约.
必要性可表述为: 若f(ax+b)可约, 则f(x)可约.
设F(x) = f(ax+b), c = 1/a, d = -b/a, 有a(cx+d)+b = x.
于是F(cx+d) = f(a(cx+d)+b) = f(x).
而在充分性部分已证: 若F(x)可约, 则F(cx+d)可约.
即若f(ax+b)可约, 则f(x)可约.
咨询记录 · 回答于2021-12-22
怎么证明有理系数多项式f（x）不可约的充要条件是f(ax+b)不可约？
亲，您好！您的问题我这边已经看到了，正在努力整理答案，稍后五分钟给您回复，请您稍等一下～
你好很高兴为您解答
条件应该有a, b都是有理数且a ≠ 0.
条件应该有a, b都是有理数且a ≠ 0.
证明其实不难.
充分性可表述为: 若f(x)可约, 则f(ax+b)可约.
由f(x)可约, 可设f(x) = g(x)h(x), 其中g(x),h(x)是次数不小于1的有理系数多项式.于是f(ax+b) = g(ax+b)h(ax+b).而a, b都是有理数且a ≠ 0, 故g(ax+b), h(ax+b)也是次数不小于1的有理系数多项式.故f(ax+b)可约.必要性可表述为: 若f(ax+b)可约, 则f(x)可约.设F(x) = f(ax+b), c = 1/a, d = -b/a, 有a(cx+d)+b = x.于是F(cx+d) = f(a(cx+d)+b) = f(x).而在充分性部分已证: 若F(x)可约, 则F(cx+d)可约.即若f(ax+b)可约, 则f(x)可约.
希望以上回答对您有所帮助~ 如果您对我的回答满意的话，麻烦给个赞 欢迎下次光临咨询
不好意思亲，咨询付费只针对第一个问题，再次咨询，需要再次付费的，平台后台会审核，请谅解
好的
已赞过
评论
收起
你对这个回答的评价是？