Question

证明:x>0,lnx

Answer 1

证明：【1】当0＜x＜1时,易知,一方面,lnx＜ln1=0.即lnx≤0.而此时1＜e^xe.∴当0＜x＜1时,有lnx＜e^x.【2】当x≥1时,构造函数f(x)=(e^x)-lnx.(x≥1).求导得f'(x)=(e^x)-(1/x).易知此时有e^x≥e＞1≥1/x.===>f'(x)=(e^x)-(1/x)＞0.===>在[1,+∞)上,函数f(x)递增,∴当x≥1时,f(x)≥f(1)=e＞0.即当x≥1时,有e^x＞lnx.综上可知,当x＞0时,有lnx