求齐次线性方程组 x1+x2+x3+x4=0 2x1+3x2+x3+x4=0 20
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首先将齐次线性方程组写成矩阵形式:
(111123114533)(�1�2�3�4)=(000)⎝⎛124135113113⎠⎞⎝⎛x1x2x3x4⎠⎞=⎝⎛000⎠⎞
接下来使用矩阵的初等变换求解解空间的正交规范基。具体步骤如下:
求出系数矩阵的行最简形式。将矩阵作行变换,得到如下行最简矩阵:
根据主元列选出解空间的一组基。由于第一和第二禅蔽列贺袜州是主元列,所以我们选取 $x_3=3, x_4=-2$ 作为基向量,得到解空间的一组基:
对选出的基向量进行正交化。将选出的基向量正交化,得到正交基:
(10−23−130113230000)⎝⎛100010−32310−31320⎠⎞
(−13−2310),(13−1301)⎝⎛−31−3210⎠⎞,⎝⎛31−3101⎠好谈⎞
(−16−26160),(12−1201)⎝⎛−61−62610⎠⎞,⎝⎛21−2101⎠⎞
因此,解空间的正交规范基为 $(-\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},0)$ 和 $(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0,1)$。
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