Question

高数题 数列xn由以下表达式给出 x0=1 xn+1=1+xn/（1+xn）

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

这种用单调有界来证明极限存在的问题最好反过来先求极限，然后拿极限值作为参考进行放缩
设极限是A，递推式两边对n求极限
A=1+A/(1+A)，A^2-A-1=0，A=(1+√5)/2（舍掉负根）
xn>=1显然成立，x[n+1]=2-1/(1+xn)<2也恒成立，有界
只要证明单调即可，用数学归纳法证明1<=xn<x[n+1]<A
1<=x0=1<=x1=3/2<A成立
假设n=k-1时成立
则x[k+1]-xk=-(xk^2-xk-1)/(1+xk)>0
x[k+1]=2-1/(1+xk)<2-1/(1+A)=2-2/(3+√5)=2-(3-√5)/2=(1+√5)/2=A
即1<=xk<x[k+1]<A成立
证毕，xn单调有界，极限存在，前面求出的A=(1+√5)/2即极限值