Question

有的同学认为:除法算式“100÷23”的商除到小数部分十多位还没有出现循环，商可能是无限不循环小数

有的同学认为:除法算式“100÷23”的商除到小数部分十多位还没有出现循环，商可能是无限不循环小数。，你同意这种观点吗？你能否用“鸽巢原理(抽屉原理)”解释？
ps:小学六年级数学

Answer 1

不同意这种观点.
首先，
算式100÷23=100/23
而100/23是分数，则一定是有理数，虽然商除到小数部分十多位还没有出现循环，但一定会出现循环的，即商只可能是有限小数或是无限循环小数。

其次，
反驳该观点可用“鸽巢原理(抽屉原理)”解释如下：
由于算式100÷23=100/23
而100/23是分数，则一定是有理数。
有理数的意思就是：可以表达成A/B的形式,A,B皆是自然数,其中B不等于0.
下面只需证明A/B可以表示为有限或无限位循环十进制小数即可.
因为B是非零自然数,所以B一定有限 ；
如果A是B的有限倍,直接可以得到有限小数,
本题主要讨论不能得到有限小数的情况.
A/B列竖式计算时,是这样操作的,A除以B得商,因为除不尽,会有余数,我们就从这个小于B的余数开始讨论；
然后我们会在这个余数后面添0再除,又会有新的余数（因为除不尽,余数一直会存在）,但是除了有限次后,这个余数一定会与前面某次余数相同,这时再除就会出现重复,即循环.
鸽巢原理的运用就在于确定这个有限次,
根据余数一定小于除数B,我们相信,最多不超过B次,一定会出现循环.
因为除了B次,会出现B个余数,但是余数不会为0,也不能大于等于B,所以最多只有B-1个不同的余数,这里有B个余数,自然至少有两个余数相同,即循环就是从第二个相同的余数出现开始出现的.

所以虽然商除到小数部分十多位还没有出现循环，但从第二个相同的余数出现后一定会开始出现循环的，即商只可能是无限不循环小数。

追问

谢谢

Answer 2

100/23是分数，分数一定是有理数，所以既然不能除尽的话，一定会出现循环的

追问

谢谢

Answer 3

不可能，因为100/23是有理数，而无限不循环小数是无理数，初一会学的

追问

谢谢