设A,B,A+B都是可逆矩阵,试求:(A-1+B-1)-1.
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【答案】:设(A-1+B-1)-1=X,则
(A-1+B-1)X=E,
上式两边左乘A,得
A(A-1+B-1)X=(AA-1+AB-1)X=(E+AB-1)X
=(BB-1+AB-1)X=(A+B)B-1X=A.
由(A+B)B-1X=A两边左乘以(A+B)-1,再左乘以B得
X=B(A+B)-1A,
故(A-1+B-1)=B(A+B)-1A.
注:本题的关键是把矩阵加减运算转化为乘积以便求逆.
(A-1+B-1)X=E,
上式两边左乘A,得
A(A-1+B-1)X=(AA-1+AB-1)X=(E+AB-1)X
=(BB-1+AB-1)X=(A+B)B-1X=A.
由(A+B)B-1X=A两边左乘以(A+B)-1,再左乘以B得
X=B(A+B)-1A,
故(A-1+B-1)=B(A+B)-1A.
注:本题的关键是把矩阵加减运算转化为乘积以便求逆.
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