Question

高等数学题一道

设连续函数的定义域和值域都是[0,1]，且f(0)=0,f(1)=1,f[f(x)]=x,证明f(x)=x

Answer 1

若f(a)=f(b)，则f(f(a))=f(f(b))。所以根据题目知道a=b
这说明f是单射。
下面证明f在[0,1]上单调递增，即对于任意0<=x1<x2<=1，都有f(x1)<f(x2)
若这个不成立，则f(x1)>=f(x2)，由f是单射知道显然等号不成立，故必有f(x1)>f(x2)
而根据连续性知道在区间[0,x1)中必然存在一点k，使得f(k)=f(x2)
所以k=x2。与k<x2矛盾

好，既然f单增就好证了
若某f(x0)>x0,则f(f(x0))>f(x0)，即x0>f(x0)，矛盾
同理不可能是<
所以只能=

证完

Answer 2

等下啊