如图求极限的步骤用了指数和对数的什么知识得来的结果，怎么算的？
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用了e^lnx=x和ln（a^x）=xlna这样的性质。类似的还有lne^x=xlne=x。这种指数的极限基本都这样求。
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图为信息科技（深圳）有限公司
2021-01-25 广告
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lim(x->0)[(e^x+x)^(1/x)]
=lim(x->0){e^[ln(e^x+x)/x]} (应用对数性质取对数)
=e^{lim(x->0)[ln(e^x+x)/x]} (应用初等函数的连续性)
=e^{lim(x->0)[(e^x+1)/(e^x+x)]} (0/0型极限,应用罗比达法则)
=e^[(1+1)/(1+0)]
=e^2
lim(x->0){[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)}
=lim(x->0){e^[(ln(a^x+b^x+c^x)-ln3)/x]} (应用对数性质取对数)
=e^{lim(x->0)[(ln(a^x+b^x+c^x)-ln3)/x]} (应用初等函数的连续性)
=e^{lim(x->0)[(a^xln│a│+b^xln│b│+c^xln│c│)/(a^x+b^x+c^x)]} (0/0型极限,应用罗比达法则)
=e^[(ln│a│+ln│b│+ln│c│)/(1+1+1)]}
=e^[ln│abc│/3]
=(abc)^(1/3).
=lim(x->0){e^[ln(e^x+x)/x]} (应用对数性质取对数)
=e^{lim(x->0)[ln(e^x+x)/x]} (应用初等函数的连续性)
=e^{lim(x->0)[(e^x+1)/(e^x+x)]} (0/0型极限,应用罗比达法则)
=e^[(1+1)/(1+0)]
=e^2
lim(x->0){[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)}
=lim(x->0){e^[(ln(a^x+b^x+c^x)-ln3)/x]} (应用对数性质取对数)
=e^{lim(x->0)[(ln(a^x+b^x+c^x)-ln3)/x]} (应用初等函数的连续性)
=e^{lim(x->0)[(a^xln│a│+b^xln│b│+c^xln│c│)/(a^x+b^x+c^x)]} (0/0型极限,应用罗比达法则)
=e^[(ln│a│+ln│b│+ln│c│)/(1+1+1)]}
=e^[ln│abc│/3]
=(abc)^(1/3).
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