Question

这道高数题怎么做，定积分的应用

求各个答案的详细解释。

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Answer 1

解法一：0/0型，采用洛必达法则
(x->1)lim(1-x)tan(πx/2)
=(x->1)lim(1-x)sin(πx/2)/cos(πx/2)
=(x->1)lim(1-x)/cos(πx/2)
=(x->1)lim(-1)/[-πsin(πx/2)/2]
=2/π
解法二：先用换元法，然后应用三角函数变形，最后应用重要极限 (x->0) lim sinx/x=1
(x->1) lim (1-x)tan(πx/2) 令 1-x=t
=(t->0) lim t sin(π(1-t)/2) / cos(π(1-t)/2)
=(t->0) lim t cos(πt/2) / sin(πt/2)
=(t->0) lim t / sin(πt/2)
=(t->0) 2/π lim (πt/2) /sin(πt/2)
=(t->0) 2/π lim 1/[sin(πt/2)/(πt/2)]
=2/π