Question

如图 三角形ABC是等边三角形，过它的三个顶点分别作对边的平行线，得到一个新的三角形DEF，

Answer 1

1、三角形DEF是等边三角形，三角形ABE，三角形ACF，三角形BCD都是等边三角形，点A，B,C分别是EF，ED,FD的中点，因为AB平行于FD，AC平行于ED，BC平行于EF，又三角形ABC是等边三角形，从而角ABC=角ACB=角BAC=60，ACBE为平行四边形，角E=60，同理角D=60，角F=60，三角形EAB全等于三角形CBA，同理三角形ACF全等于CAB，AE=AF，同理BE=BD，CD=CF，
2、三角形DEF是等边三角形，DE=EF=DF，点A，B,C分别是EF，ED,FD的中点，由中位线定理知AB平行且等于1/2FD，BC平行且等于1/2EF，AC平行且等于1/2ED，从而AB=AC=BC，三角形ABC是等边三角形。

Answer 2

证明：1.BC∥EF
AB∥CF
∴ABCF是平行四边形，CF=AB
BC=AF
同样可证明AEBC、ABDC都是平行四边形。BC=AE
AC=BE
AC=BD
AB=DC
点A、B、C是△EDF
三边的中点。EF=2BC
FD=2AB
ED=2AC
∵AB=BC=AC
∴EF=FD=DE
即三角形EFD是等边三角形。
∴△AFC△
BCD
△ABE都是等边三角形。
点A，B,C分别是EF，ED,FD的中点
。∵BC=(1/2)EF
AB
=(1/2）DF
AC=(1/2)DE
EF=FD
=DE
∴BC=AB=AC
即三角形ABC是等边三角形。

2.∵BC=1/2*EF
AB
=1/2*DF
AC=(1/2)DE
又∵三角形DEF是等边三角形
∴EF=FD
=DE
∴BC=AB=AC
即三角形ABC是等边三角形。