Question

在三角形ABC中，已知A+B+C=π，求sinA+sinB+sinC的最大值

Answer 1

如果不利用Jensen不等式，可以考虑构造函数并求导的方法。
本题实质上是求sinA+sinB+sinC的最大值。
解：
令f(A)=sinA+sinB+sinC=sinA+sinB+sin[(π-(A+B)]=sinA+sinB+sin(A+B)=sinA+sinB+sinAcosB+cosAsinB
∴f'(A)=cosA+cosAcosB-sinAsinB=cosA+cos(A+B)=cosA-cosC
则f'(A)=0时取得最大值
即对于每一个确定的C值，当cosA-cosC=0,得A=C时，f(A)取得最大值
同理，当B=A时，f（B）取得最大值,
当C=B时，f(C)取得最大值
这样可解得A=B=C=60º时(sin60º=√3/2),sinA+sinB+sinC最大
∴sinA+sinB+sinC≤3(√3/2)