Question

设a，b，c∈（0，正无穷）且a+b+c=1,求证1/a+1/b+1/c≥9

Answer 1

1、柯西不等式
（
1/a+1/b+1/c）*（a+b+c）>=（√（1/a*a）+
√（1
/b*b）+
√（1/c*c）
）平方=9
2、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n
Hn≤An
既可证
http://baike.baidu.com/view/441784.htm#1
3、方法较烦
但初中生好做
1/a+1/b+1/c
先乘
a+b+c
在用
基本不等式

1/a+1/b+1/c
=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=1+(b+c)/a+1(a+c)/b+1(a+b)/c
=3+b/c+c/b+a/c+c/a+a/b+b/a
（由于b/a+a/b>=2，c/a+a/c>=2，c/b+b/c>=2）

>=3+2+2+2
=9