Question

矩阵A的平方等于矩阵A，那么矩阵A有什么性质

Answer 1

1.
a^2=a,即是a^2-a=0,
即a(a-e)=0,
所以r(a)+(a-e)小于或等于n,
又因为a+(e-a)=e,所以r(a)+(a-e)＝r(a)+r(e-a)大于或等于n,
于是r(a)+(a-e)＝n.
2.
由a(a-e)=0可知a-e的每一列都是ax=0的解，类似地可以知道，a的每一列也都是(a-e)x=0的解.
3.
a的特征值只能是1或0.
证明如下：设λ是a的任意一特征值，α是其应对的特征向量，则有
aα=λα,
于是(a^2-a)α=(λ^2-λ)α=0,
因为α不是零向量，于是只能有λ^2-λ＝0，所以λ＝1或λ=0
4.矩阵a一定可以对角化.
因为a-e的每一非零列都是ax=0的解，所以a-e的每一个非零列都是λ＝0的特征向量，同理a
的每一个非零列都是λ＝1的特征向量，再由r(a)+(a-e)＝n可知矩阵a有n个线性无关的特征向量，所以a可以对角化.
暂时只能想到
这些了，希望对你有所帮助.

Answer 2

如果A^2=A，则有：(1)A的特征值只有0或1；(2)|A|=0或|A|=1；(3)A相似于对角阵；(4)r(A)+r(A-E)=n。(5)若A不是单位阵，则|A|=0。