Question

标准正态分布的标准偏差

Answer 1

正态分布的标准差正态分布N～（μ，duδ^2），方差D(x)=δ^2，E(x)=μ。

服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。μ维随机向量具有类似的概率规律时，随机向量遵从多维正态分布。

多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。

正态分布的特点：呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形。

呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形。

正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。

是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

Answer 2

先区别几个概念：

1、样本的标准偏差 ≠ 总体的标准偏差 ≠ 统计学标准偏差

2、在总体符合正态分布的前提下：总体的标准偏差=统计学标准偏差

3、当样本有代表性时：样本的标准偏差≈总体的标准偏差。即，通过样本的标准偏差可以估计总体的标准偏差。

然后要区分以上实用意义上的统计和数学意义上的统计：

要对实际情况进行数学上的统计处理，前提是符合正态分布函数，在这个前提下可以套用正态分布函数推导出来的一系列公式，包括标准偏差公式。

再说直白一点：对于实际统计对象，每个个体相对于平均值的离散程度可以用s=((X样品-X平均)^2/n)^0.5这个计算值来表示。对于正态分布函数，σ值可以表示函数图像的半高宽度。这两个本来没有任何联系。只有当实际的统计对象的分布符合正态函数时，这两个才具有相等的关系。

接下来针对问题讲：

标准偏差的公式是正态分布函数推导的结果，但是有适用条件。

对于总体，也就是n无限大。这个时候用除以n的公式计算，是符合公式适用条件的。

对于样本，n是有限值，不符合适用条件，所以不能直接套用除以n的公式。

为了能够从有限的样本中估算出无限的总体的标准偏差，必须使用近似计算。至于如何近似计算，理论上可以有很多种，而使用除以n-1计算的这个公式经过证明，在任何时候都是能够得到比较接总体标准偏差的结果，这就是所说的无偏估计。用数学的说法就是：这个估计值与正值之间的误差是收敛的。用通俗的话说，就是这个估计值比较靠谱。

数学上讲，当n越大时，这个估计值就越接近真值。实际意义就是，样本数量越大，就越能代表总体。

至于说这些公式具体的推导证明过程，其实我也忘记了。因为实际使用中基本上用不到，只用记住结果，明白意义就够了。

Answer 3

概率分布或随机变量的标准偏差是方差的正平方根值，用符号 表示。标准偏差能反映一个数据集的离散程度，标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦然。概率分布反应了该随机变量的全貌，标准偏差则表示测得值的分散性。

标准偏差在概率分布的应用
基本概念
概率分布是概率论的基本概念之一，用以表述随机变量取值的概率规律。为了使用的方便，根据随机变量所属类型的不同，概率分布取不同的表现形式。
标准差也被称为标准偏差，标准差(Standard Deviation)描述各数据偏离平均数的距离（离均差）的平均数，它是离差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度，标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦然。标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。平均数相同的两个数据集，标准差未必相同。
概率分布反应了该随机变量的全貌，但在实际应用中更关系代表该概率分布的若干数字特征量。这些特征量主要有期望、方差、标准偏差。

Answer 4

深蓝色区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在正态分布中，此范围所占比率为全部数值之68%，根据正态分布，两个标准差之内的比率合起来为95%；三个标准差之内的比率合起来为99%。
在实际应用上，常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确，则约68.3%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围，约95.4%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围，以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。称为“68-95-99.7法则”或“经验法则”。

Answer 5

标准正态分布又称为u分布，是以0为均数、以1为标准差的正态分布，记为N（0，1）。
正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。期望值μ=0，即曲线图象对称轴为Y轴，标准差σ=1条件下的正态分布，记为N(0，1)。深蓝色区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在正态分布中，此范围所占比率为全部数值之68%，根据正态分布，两个标准差之内的比率合起来为95%；三个标准差之内的比率合起来为99%。
在实际应用上，常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确，则约68.3%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围，约95.4%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围，以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。称为“68-95-99.7法则”或“经验法则”。