Question

设函数,,其中.()若函数图象恒过定点,且点在的图象上,求的值;()当时,设,讨...

设函数,,其中. ()若函数图象恒过定点,且点在的图象上,求的值; ()当时,设,讨论的单调性; ()在的条件下,设,曲线上是否存在两点,,使(为原点)是以为直角顶点的直角三角形,且该三角形斜边的中点在轴上?如果存在,求的取值范围;如果不存在,说明理由.

Answer 1

点与的取值无关,令即可求点,代入,可得值;()时,求出,,在定义域内按,两种情况讨论解不等式,即可;()由知,先假设曲线上存在满足题意的两点,,易知,两点在轴两侧,由此可设,,由题意知为直角,从而有,即.分时,时两种情况进行讨论,此时可知表达式,种情况易判断,种情况分离出参数后构造函数,转化为求函数值域可以解决;
解:令,则,即函数的图象过定点,又点在的图象上,所以,解得.,定义域为,.,则,当时,,,此时在上单调递增,当时,由得,,得,此时在上为增函数,在上为减函数,综上,当时,在上为增函数,时,在上为增函数,在上为减函数.由条件知,假设曲线上存在两点,满足题意,则,两点只能在轴两侧,设,则,是以为直角顶点的直角三角形,,.当时,,此时方程为,化简得,此方程无解,满足条件的,两点不存在.当时,,方程为:,即,设,则,当时,,即在上为增函数,的值域为),即,,.综上所述,如果存在满足条件的,,则的取值范围是.
本题考查利用导数研究函数的单调性,考查对数函数的特殊点,考查学生对存在性问题的探究解决能力,解决()问的关键通过分析条件合理设点,的坐标.