初等矩阵的定义是什么?

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2021-12-27 · 生活丰富多彩,请热爱生活。
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初等矩阵是指,由单位矩阵经过三种矩阵初等变换得到的矩阵。初等矩阵的模样可以写一个3阶或者4阶的单位矩阵,首先:初等矩阵都可逆,其次,初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵(可看作逆变换)。

例如,交换矩阵中某两行(列)的位置;用一个非零常数k乘以矩阵的某一行(列);将矩阵的某一行(列)乘以常数k后加到另一行(列)上去。

若某初等矩阵左乘矩阵A,则初等矩阵会将原先施加到单位矩阵E上的变换,按照同种形式施加到矩阵A之上。或者说,想对矩阵A做变换,但是不是直接对矩阵A去做处理,而是通过一种间接方式去实现。

初等矩阵的三种类型:

常见的三种初等矩阵,交换矩阵的两行(对调i,j,两行记为ri,rj);以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素(第i行乘以k记为ri×k);把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一。

交换矩阵的两行(对调i,j,两行记为ri,rj);以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素(第i行乘以k记为ri×k);把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素(第j行乘以k加到第i行记为ri+krj)。

这三种初等变换都不会改变一个方阵A的行列式的非零性,所以如果一个矩阵是方阵,我们可以通过看初等变换后的矩阵是否可逆,来判断原矩阵是否可逆。可以看出,矩阵的3种初等变换都是可逆的,且其逆变换也是同一种类型的初等变换。

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