Question

拉格朗日定理如何理解？

Answer 1

[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函数f(x)满足条件：

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得

向左转|向右转

显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理当f(a)=f(b)时的特殊情形，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。

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扩展资料

推论1：如果函数f(x)在区间(a,b)内任意一点的导数f'(x)都等于零，那么函数f(x)在(a,b)内是一个常数。

证：设x1,x2是区间(a,b)内的任意两点，且x1＜x2，则函数f(x)在区间[x1,x2]上满足拉格朗日终值定理的条件，所以在(x1,x2)内至少存在一点ξ，使得f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1).

由假设知f'(ξ)=0，所以f(x1)=f(x2).

由于x1,x2是(a,b)内的任意两点，所以函数f(x)在(a,b)内的函数值总是相等的，即函数f(x)在(a,b)内是一个常数。
由此可知，函数f(x)在(a,b)内是一个常数的充分必要条件是在(a,b)内f'(x)=0.

推论2：如果函数f(x)与g(x)在区间(a,b)内每一点的导数f'(x)与g'(x)都相等，则这两个函数在区间(a,b)内至多相差一个常数，即f(x)=g(x)+C,x∈(a,b).这里C是一个确定的常数。

参考资料来源：百度百科-拉格朗日中值定理

Answer 2

拉格朗日定理，数理科学术语，存在于多个学科领域中，分别为：微积分中的拉格朗日中值定理；数论中的四平方和定理；群论中的拉格朗日定理 (群论)。
微积分
在微积分中，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。
1.文字叙述
如果函数 满足：1) 在闭区间 上连续；2) 在开区间 内可导；那么在 内至少有一点 ，使等式

成立。
2.逻辑语言的叙述
若函数 满足：

则

图1.拉格朗日中值定理的几何意义
3.证明
令 ，那么[1]
1） 在 上连续，
2） 在 上可微（导），
3 ，由罗尔定理，存在一点 ，使得 。即 。
数论
1.内容
四平方和定理（Lagrange's four-square theorem） 说明每个正整数均可表示为4个整数的平方和。它是费马多边形数定理和华林问题的特例。注意有些整数不可表示为3个整数的平方和，例如7。
2.历史
1. 1743年，瑞士数学家欧拉发现了一个著名的恒等式：。根据上述欧拉恒等式或四元数的概念可知如果正整数 和 能表示为4个整数的平方和，则其乘积 也能表示为4个整数的平方和。于是为证明原命题只需证明每个素数可以表示成4个整数的平方和即可。
2. 1751年，欧拉又得到了另一个一般的结果。即对任意奇素数 ，同余方程 必有一组整数解 满足 ， （引理一）。
至此，证明四平方和定理所需的全部引理已经全部证明完毕。此后，拉格朗日和欧拉分别在1770年和1773年作出最后的证明。
群论
拉格朗日定理是群论的定理，利用陪集证明了子群的阶一定是有限群的阶的约数值。
1.定理内容
叙述：设H是有限群 的子群，则 的阶整除 的阶。
定理的证明是运用 在 中的左陪集。 在 中的每个左陪集都是一个等价类。将 作左陪集分解，由于每个等价类的元素个数都相等，都等于 的元素个数（ 是 关于 的左陪集），因此 的阶（元素个数）整除 的阶，商是 在 中的左陪集个数，叫做 对 的指数，记作 。
陪集的等价关系
定义二元关系 ： 。下面证明它是一个等价关系。
1) 自反性： ；
2) 对称性： ，因此 ，因此 ；
3) 传递性： ，因此 ，因此 。
可以证明， 。因此左陪集是由等价关系 确定的等价类。
拉格朗日定理说明，如果商群 存在，那么它的阶等于 对 的指数 。

上述写法在为无限群时也成立。
2.推论
由拉格朗日定理可立即得到：由有限群 中一个元素 的阶数整除群 的阶（考虑由 生成的循环群）。
3.逆命题
拉格朗日定理的逆命题并不成立。给定一个有限群 和一个整除 的阶的整数 ， 并不一定有阶数为 的子群。最简单的例子是4次交替群 ，它的阶是12，但对于12的因数6， 没有6阶的子群。对于这样的子群的存在性，柯西定理和西洛定理给出了一个部分的回答。