Question

求∫(0,+∞)eˣcos(2∏x)dx

Answer 1

要计算这个积分，可以使用部分积分法。
设u = e^x, dv = cos(2πx)dx，则du/dx = e^x，v = (1/2π)sin(2πx)
根据部分积分公式 ∫uv' dx = uv - ∫u'v dx
则原积分∫e^x cos(2πx)dx
= 1/(2π) * e^x * sin(2πx) |_0^∞ - 1/(2π) * ∫e^x sin(2πx) dx
对于后面的积分，可以再次使用部分积分法：
设 u = e^x, dv = sin(2πx)dx，则 du/dx = e^x，v = -(1/2π)cos(2πx)
根据部分积分公式 ∫uv' dx = uv - ∫u'v dx
则 ∫e^x sin(2πx) dx = -1/(2π) * e^x * cos(2πx) + 1/(2π) * ∫e^x cos(2πx) dx
将其代入原式得：
∫e^x cos(2πx)dx = 1/(2π) * e^x * sin(2πx) + 1/(4π²) * [e^x * cos(2πx) - ∫e^x sin(2πx) dx]
由于上述积分中 ∫e^x sin(2πx) dx 已经在上面进行了计算，带回原式即可得：
∫e^x cos(2πx)dx = [1/(2π) * e^x * sin(2πx)] + [1/(4π²) * (e^x * cos(2πx) - ∫e^x sin(2πx) dx)]
= [1/(2π) * e^x * sin(2πx)] + [1/(4π²) * (e^x * cos(2πx) + 1/(2π) * e^x * cos(2πx) - 1/(4π²) * e^x * sin(2πx))]
= [1/(2π) * e^x * sin(2πx)] + [(2π² + 1)/(4π² + 4π²) * e^x * cos(2πx)] - [1/(8π³ + 4π⁴) * e^x * sin(2πx)]
当x趋于正无穷时，三个部分的值都趋于零，所以上式当 x 趋于正无穷时积分会收敛，因此：
∫(0,+∞) e^x cos(2πx) dx = [1/(2π) * e^x * sin(2πx)] + [(2π² + 1)/(4π² + 4π²) * e^x * cos(2πx)] - [1/(8π³ + 4π⁴) * e^x * sin(2πx)] 从0到正无穷积分。
因为0到正无穷的二阶狄利克雷函数是0，所以可以化简为：
∫(0,+∞) e^x cos(2πx) dx = (2π² + 1)/(4π² + 4π²) = (2π² + 1)/(8π²)