Question

21. 设函数z=z(x,y)是由方程 x^2y+xe^z-yz=1 确定的隐函数求dz|(0,-？

Answer 1

【计算答案】dz=

【求解思路】对该隐函数两边求微分，即对每项分别微分计算

1、d(x²y)=2xydx+x²dy

2、d(xe^z)=e^zdx+xe^zdz

3、d(yz)=zdy+ydz

4、综合上述，写出dz表达式

【计算过程】

Answer 2

根据隐函数求导公式，对方程两边同时对 x 求偏导数，得到：
2xy + e^z + xe^z dz/dx - yz_x = 0
将 x = 0，y = -1 和 z = 0 代入上式，得到：
-2 - dz/dx = 0
因此，有 dz/dx = -2。
同理，对方程两边同时对 y 求偏导数，得到：
x^2 - z_y = 0
将 x = 0，y = -1 和 z = 0 代入上式，得到：
0 - z_y = 0
因此，有 z_y = 0。
综上所述，dz|(0,-1) = dz/dx(0,-1) dx + dz/dy(0,-1) dy = -2 dx。

Answer 3

令 F = x^2y+xe^z-yz-1
则 Fx = 2xy+e^z, Fy = x^2-z, Fz = xe^z-y
∂z/∂x = -Fx/Fz = -(2xy+e^z)/(xe^z-y),
∂z/∂y = -Fy/Fz = -( x^2-z)/(xe^z-y),
dz = -[(2xy+e^z)dx+( x^2-z)dy]/(xe^z-y)
将指定点坐标代入即得。

Answer 4

根据隐函数定理，我们可以得到：
∂z/∂x = -(F'x)/(F'z) = -y/(x^2+yz)
∂z/∂y = -(F'y)/(F'z) = -x/(x^2+yz)
其中，F(x,y,z) = x^2y + xe^z - yz - 1。
所以在点 (0,-t) 处，其中 t 是满足 x^2y + xe^z - yz - 1 = 0 的实数，有：
∂z/∂x = -(-t)/(0^2+t*(-t)) = -1/t
∂z/∂y = -(0)/(0^2+t*(-t)) = 0
因此，dz|(0,-t) = ∂z/∂x dx + ∂z/∂y dy = (-1/t)dx。