Question

15.设函数:=f(x-2y,xy),其中f具有二阶连续偏导数,求(z)/(x) (^2z)/(x？

Answer 1

根据链式法则，我们有：
z = f(x-2y, xy)
对x求偏导数，得到：
1 = ∂f / ∂x * (1 - 2y) + ∂f / ∂y * x
对y求偏导数，得到：
0 = ∂f / ∂x * (-2x) + ∂f / ∂y * (x^2)
化简上面两个方程组成的线性方程组，我们得到：
∂f / ∂x = x / (x^2 - 4y + 1)
∂f / ∂y = (1 - 2y) / (x^2 - 4y + 1)
现在我们对上面两个式子分别求x的二阶偏导数和xy的一阶偏导数，并代入所求的表达式中，得到：
(z/x) = (∂^2f / ∂x^2 * xy - ∂^2f / ∂x∂y * x) / (∂f / ∂x)^3
((∂^2z)/(∂x^2)) = (x * ∂^3f / ∂x^3 + 2 * ∂^3f / ∂x^2∂y * xy + ∂^3f / ∂y^2∂x * x^2 + ∂^3f / ∂y^3 * x^3) / (∂f / ∂x)^3 - 3x * ∂^2f / ∂x^2 * (∂f / ∂x)^-4 * (∂f / ∂y)^2 - (∂^2f / ∂x∂y * x) / (∂f / ∂x)^2
这样我们就得到了所求的答案。