Question

计算二重积分？

Answer 1

给你个例题参考，二重积分是高级积分方法,用于计算平面或空间区域内的面积及体积。计算二重积分主要有两种方法:
1. 重复积分法:先对一个变量积分,然后对另一个变量积分,逐步推导为最终结果。
例如:计算曲线方程为 y=x^2,在第一象限内的面积。
步骤:
(1) 先对 y 变量积分,得到 x^3/3 + C
(2) 再对 x 变量积分,得到 x^4/12 + Cx + D
(3) 代入边界条件 x=0 和 x=1,求得 C=0,D=0
(4) 故该面积为 1/12 = 0.083333
公式:∫∫f(x,y)dA = ∫(∫f(x,y)dy)dx
2. 变换法:将二重积分转化为一重积分计算。常用的变换有:
1 极坐标变换:x = rcosθ,y = rsinθ
2 角度变换:x = sint,y = cost
3 完成平方变换:x = u,y = v,u^2 + v^2 = 1
例如:在半径为2的圆内,求∫∫xydA
步骤:
(1) 采用极坐标变换:x=2cosθ, y=2sinθ
(2) ∫∫xydA = ∫∫(2cosθ)(2sinθ)rdrdθ
= 4∫∫cosθsinθrdrdθ
= 4∫02π∫01r2drdθ
= 4π
公式:∫∫f(x,y)dA = ∫∫f(u,v)(ux' + vy')dudv (u,v为新坐标系)
综上,掌握二重积分的计算方法,需要熟练掌握重复积分法和各种坐标变换的应用。然后根据具体问题选取适宜的方法,结合边界条件 step by step 地推导计算,以获取准确结果。这需要对一重积分和坐标变换有较深入的理解,并在练习中不断熟练运用。