Question

ln(cosx)的积分怎么求？

ln(cosx)在0到π/2上的的积分怎么求？
452192750的解答我看懂了，是对的。可是我觉得像是先知道答案后是拼凑出来的，这种方法太巧了我觉得我很难想到，不知道还有没有别的思维比较直接的方法？

Answer 1

具体回答如下：

积分限分为0到π/4，π/4到π/2。

π/4到π/2上的积分换元x=π/4-t，化为lncosx 从0到π/4的积分。

原式

=∫（0到π/4） （lnsinx+lncosx）dx

=∫（0到π/4） （-ln2+lnsin(2x)）dx

=-π/4×ln2+∫（0到π/4） lnsin2x dx 

=-π/4×ln2+1/2×∫（0到π/2） lnsint dt，后者换元t=2x。

综上所述，原式=-π/2×ln2。

积分的性质：

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

作为推论，如果两个函数上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。

Answer 2

解：令x=π/2-t，则在积分区间[0,π/2]，有∫ln(sinx)dx=∫ln(cosx)dx。

另外，原式=∫(x=0,π/4)ln(cosx)dx+∫(x=π/4,π/2)ln(cosx)dx。对后一个积分，令x=π/2-θ，则∫(x=π/4,π/2)ln(cosx)dx=∫(θ=0,π/4)ln(sinθ)dθ，∴原式=∫(x=0,π/4)[ln(cosx)+ln(sinx)]dx=∫(x=0,π/4)ln[(1/2)(sin2x)]dx=∫(x=0,π/4)ln(sin2x)dx-(π/4)ln2【再令2x=y】=(1/2)∫(x=0,π/2)ln(siny)dy-(π/4)ln2。

∴∫(x=0,π/2)ln(cosx)dx=(1/2)∫(x=0,π/2)ln(cosx)dx-(π/4)ln2，即∫(x=0,π/2)ln(cosx)dx=-(π/2)ln2。供参考。

不定积分的公式：

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 3

答案是(-π/2)ln2，解法如下：
（以下积分均为定积分，积分区域未说明的均在0到π/2）

1.先证：∫ln(cosx)dx=∫ln(sinx)dx。令x=(π/2)-t代入积分式可得∫ln[cos((π/2)-t)]dt=∫ln(sint)dt。得证。

2.设所求积分为I，则有
2I+(π/2)ln2
=∫ln(cosx)dx+∫ln(sinx)dx+(π/2)ln2
=∫[ln(cosx)+ln(sinx)+ln2]dx
=∫ln(2cosxsinx)dx
=∫ln(sin2x)dx

3.找出∫ln(sin2x)dx与I的关系。
令2x=t，则有
∫ln(sin2x)dx
=(1/2)∫ln(sint)dt（积分区域在0到π）
=(1/2)[∫ln(sint)dt+∫ln(sint)dt]（后一个积分区域在π/2到π）
而对于∫ln(sint)dt（积分区域在π/2到π）将u=t-π/2代入则
等于∫ln(cosu)du，即等于I。
从而有∫ln(sin2x)dx=(1/2)[∫ln(sinx)dx+∫ln(cosx)dx]=I。

这样，根据前面的关系就有2I+(π/2)ln2=I，所以I=(-π/2)ln2。

Answer 4

你让cosX=t进行代换，就应该能积出来，我现在手机上的没法给你写过程，不管采纳不采纳今天晚上都会上来把过程给你补上。

回来了，看来有人答对了，考研复习全书上也是这种解答，估计别的方法做不出来了....