Question

已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=8，求证：1/a+1/b+1/c小于0

写下详细过程哦~谢谢了~

Answer 1

证明：因为a+b+c=0
所以(a+b+c)^2=0
拆开来写a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=0
a^2+b^2+c^2=-2ab-2ac-2bc
由abc=8可以推出等式左边肯定是大于0的，因为没有0的存在
那么等式右边可以总结出ab+ac+bc<0
所以1/a+1/b+1/c=(ac+bc+ab)/abc<0

好久不做题了，给个辛苦分吧

Answer 2

1/a + 1/b + 1/c

= (bc+ac+ab)/abc

a+b+c = 0

a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc = 0

ab + ac + bc = -(a^2+b^2+c^2) <= 0

又因为

abc = 8

所以

(bc+ac+ab)/abc = (ab + ac + bc)/8 <= 0

abc = 8

所以 a,b,c 不能都是0 所以 -(a^2+b^2+c^2) < 0

所以

1/a + 1/b + 1/c = (bc+ac+ab)/abc < 0

Answer 3

1/a+1/b+1/c=ab+bc+ac/abc=ab+bc+ac/8=(a+b)c+ab/8=-(a+b)(a+b)+ab/8
分子-(a+b)(a+b)+ab=-(a+0.5b)^2-3/4b^2恒小于0

Answer 4

1/a+1/b+1/c=(BC+AC+AB)/ABC=[(BC+AC)+(BC+AB)+(AC+AB)]/16=[-C平方-A平方-B平方]/16
由此可知固小于0