Question

如何证明方程f(x)=x^4+2x^3-12x^2-8x+17有4个解

为什么f（x）/x-1=x^3+4x^2-10x-17
请详细解释过程，谢谢

Answer 1

1.如果方程有整数解，那么肯定是17的约数，我们试一下1，-1
发现f(1)=0,所以x=1是原方程的解，这样
令g(x)=f(x)/(x-1)=x^3+4x^2-10x-17
容易得到：
g(-10)=-517<0
g(-2)=11>0
g(0)=-17<0
g(4)=16>0

所以在 (-10,-2),(-2,0),(0,4)这三个区间的每一个区间里必都还有一个根
这样原方程有4个解。

Answer 2

y'=4x^3+6x^2-24x-8=0
（x-2）(2x^2+7x+2)=0
x1=-(7+√33)/4 x2=-7+√33/4 x3=2
极小值f(x1)<0
f(x3)<0
所以f(x)=x^4+2x^3-12x^2-8x+17有4个解