Question

一道数学难题：求(sinx)^2 / (cosx)^3的不定积分，谢谢

Answer 1

由∫secx dx = ln|secx+tanx| + C1

故 ∫(secx)^3 dx

=∫secx dtanx

=secx·tanx -∫[(tanx)^2·secx]dx

=secx·tanx -∫{[(secx)^2 -1]·secx}dx

=secx·tanx - ∫(secx)^3 dx + ∫secx dx

=secx·tanx - ∫(secx)^3 dx + ln|secx+tanx| + C1

所以 ∫(secx)^3 dx =1/2 secx·tanx + 1/2 ln|secx+tanx| + C

∫(sinx)^2 / (cosx)^3 dx

=∫[1-(cosx)^2] / (cosx)^3 dx

=∫[(secx)^3 - secx] dx

=∫(secx)^3 dx - ∫secx dx

=1/2 secx·tanx - 1/2 ln|secx+tanx| + C

Answer 2

(sinx)^2 / (cosx)^3=1/cosx^3-1/cosx
=cosx/[1-sinx^2]^2-cosx/[1-sinx^2]
不定积分==[ln[abs(tanx)]+sin(x)/cos(x)^2]/2 -1/2ln|(1+sinx)/(1-sinx)|+C
==[ln[abs(tanx)]+sin(x)/cos(x)^2]/2 -ln[abstan(x+pi/4)]+C