Question

设a，b为实数，求a²＋2ab＋2b²－4b－5的最小值，并求此时a与b的值。

Answer 1

解： 为避免混淆，用m代替原题中的b。
a²＋2am＋2m²－4m－5
=(a²＋2am＋m²)+(m²－4m－5)
=(a＋m)²+(m²－4m－5)
因为(a＋m)²最小值为0
所以当m²－4m－5取最小值时，(a＋m)²+(m²－4m－5)取得最小值
对于二次式m²－4m－5，a=1，b=-4，c=-5
当m=-b/(2a)=4/2=2时，m²－4m－5有最小值(4ac-b²)/(4ac)=-9
即原题所求a²＋2ab＋2b²－4b－5的最小值为-9
因为(a＋m)²=0
所以a=-m=-2
即原题所求：a=-2，b=2