Question

如图，已知抛物线y=-x²+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B(4，0).

如图，已知抛物线y=-x²+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B(4，0).
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标与其对称轴方程；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ的周长取最小值？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）M是线段BC上（不与B、C重合）的一个动点，过点M作直线l′∥y轴，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t.当t为何值时，△BCN的面积最大？最大面积为多少？
第三小问用“补”的方法做

Answer 1

解：（1）当x=0时，得y=-3，
∴C（0，-3），
∵OA=OC，
∴OA=3，即得A（-3，0）．

由点A在抛物线y=x²+bx-3上，
得9-3b-3=0．解得b=2．
∴所求抛物线的解析式是y=x²+2x-3．

（2）由CE∥x轴，C（0，-3），可设点E（m，-3）．
由点E在抛物线y=x²+2x-3上，
得m²+2m-3=-3．
解得m₁=-2，m₂=0．
∴E（-2，-3）．
又∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴顶点D（-1，-4）．
∵CD＝

(−1−0)2+(−4+3)2

＝

2

，ED＝

(−1+2)2+(−4+3)2

＝

2

，
CE=2，
∴CD=ED，且CD²+ED²=CE²．
∴△CDE是等腰直角三角形．

（3）M₁（-1，-2），M₂（-1，-6）

(*^__^*) 嘻嘻~！希望帮到你哦~！

追问

请认真看题好吗？这答案全是错的啊！！！

Answer 2

（1）B点的坐标为B(4，0)，y=-x²+bx+4
则：0=-4²+b*4+4
解得b=3

抛物线的解析式：y=-x²+3x+4
顶点坐标：[-b/2a，（4ac-b²）/4a]，代入得[3/2，25/4]
对称轴方程：x=-b/2a=3/2

（2）对称轴为x=3/2
△ACQ的周长取最小值，AC长度固定，实际上是求AQ+CQ的最小值。
A点和B点关于对称轴对称，AQ=BQ，所以AQ+CQ=CQ+BQ，当CQB在一条直线上时CB最小。
求出CB与对称轴的交点即可。

求A点B点坐标，y=0，计算0=-x²+3x+4，x=-1，或x=4。
所以，A点坐标为（-1，0）B点坐标为（4，0）
求C点坐标，x=0，则y=4，C点坐标为（0，4）

直线B（4，0）C（0，4）的方程为：（x-4）/（0-4）=（y-0）/（4-0），化简：y=-x+4
x=3/2代入，y=5/2。

所求交点为（3/2，5/2）

（3）△BCN的面积最大，三角形的底BC固定，当高最大时面积最大。所以可转化为求N点到BC的距离最大，过N点做BC的平行线NN'，当这条平行线与抛物线相切时距离最大。

设NN'的直线方程为 y=kx+b，k与直线BC相同为-1，所以方程为y=-x+b，代入到抛物线方程y=-x²+3x+4：
-x+b=-x²+3x+4
化简：x²-4x+b-4=0
当判别式=0时，方程只有一解，直线NN'与抛物线相切。
判别式=(-4)²-4*(b-4)=0，解得：b=8
所以直线NN'的方程为 y=-x+8

与抛物线交点为：-x+8=-x²+3x+4，(x-2)²=0，x=2，y=6，交点N为（2，6）
M的横坐标与N的横坐标相等，t=2。

已知三角形3个顶点（4，0）（0，4）（2，6），求面积，后面自己计算……

Answer 3

（1）带入B点坐标到抛物线，0=-16+4b+4 得到 b=3
y=-x²+3x+4 , 顶点式 y=-(x-3/2)²+25/4

(2)设点Q坐标为(3/2 , q)
则CQ=(0-3/2)²+(4-q)²
AQ=(-1-3/2)²+(0-q)²
周长=2q²-8q+M M为一个常数，不影响对最值的判断
此时，当q=2时，周长最短，即Q点坐标为(3/2,2)

(3)CBN面积实际上为1/2*MN*BO （常用方法，将一个三角形分为两个，看不懂再问我）
M坐标为(t,t) (你可以发现BO和OC都是4，图画的不准)
N坐标为(t,-t²+3t+4) （将N横坐标带入抛物线）
MN=-t²+3t+4-t=-t²+2t+4
求得当t=1时，MN最大，即面积最大。
此时MN=5, 面积=0.5*5*4=10