Question

设双曲线y2/a2-x2/3=1的两个焦点分别为F1F2，离心率为2

1.求两条渐近线的方程2.过点（1,0）能否作出直线l，使l与双曲线C交于P,Q两点，且向量OP * 向量OQ，若存在，求出直线方程，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（I）∵e=a2+3|a|
∴a2=1
∴双曲线渐近线方程为y=±3x3
（Ⅱ）假设过点N（1，0）能作出直线l，使l与双曲线C交于P、Q两点，
且OP�6�1OQ=0
若过点N（1，0）的直线斜率不存在，则不适合题意，舍去．
设直线l方程为y=k（x-1），P（x1，y1），Q（x2，y2）
∴y=k(x-1) ①y2-x3=1 ②
①代入②得：（3k2-1）x2-6k2x+3k2-3=0
∴3k2-1≠0 ①△＞0 ②x1+x2=6k23k2-1 ③x1�6�1x2=3k2-33k2-1 ④
∵OP�6�1OQ=0
∴y1y2+x1x2=0
∴（k2+1）x1x2-k2（x1+x2）+k2=0
∴k2+33k2-1=0
∴k2=-3不合题意．
∴不存在这样的直线．