Question

已知圆C：（x-1)^2+(y-2)^2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0

(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点
（2）求直线被圆c截得的弦长最小值直线l的方程

Answer 1

（1）
直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0
即m(2x+y-7）+（x+y-4)=0
由{2x+y-7=0
{x+y-4=0
解得A(3,1)
那么直线l恒过定点A(3,1)
圆C：（x-1)^2+(y-2)^2=25
A(3,1)代入(3-1)^2+(1-2)^2<25
A在圆C内部.
因此不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点。
（2）
直线被圆c截得的弦长取得最小值时，
弦的中点为A(3,1),此时 AC⊥l。
圆心 C(1,2),
AC的斜率k'=(2-1）/(1-3)=-1/2
∴l的斜率k=-1/k'=2
∴l的方程为y-1=2(x-3)
即2x-y-5=0