Question

二元函数无条件极值中为何A>0为极小，A<0为极大？

A表示对x的二阶偏导数，而C表示对y的二阶偏导数，而B表示对x和y 的二阶混合偏导数。
当AC-B^2>0时，极值存在，且A>0为极小，A<0为极大
可是，A和C是轮换对称的，为什么A的正负可以确定极大值和极小值，C就不行呢？

Answer 1

你的感觉是对的，A和C是一样的。所以用A来判断就可以了。

证明如下：

这个用二元函数的泰勒展开式就很好理解及证明了：
f(x,y) = f(a,b) + f'x(a,b)(x - a) + f'y(a,b)(y - b) + 1/2*[f"xx(a,b)(x-a)^2 + f"yy(a,b)(y-b)^2 + 2f"xy(a,b)(x-a)(y-b)] + h ， 这里h为余项
=f(a,b) + f'x(a,b)(x - a) + f'y(a,b)(y - b) + 1/2*[A(x-a)^2 + C(y-b)^2 + 2B(x-a)(y-b)] + h
由于f'x(a,b)=f'y(a,b)=0,
因此上式=f(a,b)+1/2*[A(x-a)^2 + C(y-b)^2 + 2B(x-a)(y-b)] + h

在极小值点的邻域，其值都比它大。所以极小值点相当于在邻域内A(x-a)^2 + C(a,b)(y-b)^2 + 2B(x-a)(y-b) 恒大于0.
把它看成是x-a的2次式，恒大于0，表明A>0,且判别式小于0.即为(2B)^2-4AC<0,故有AC-B^2>0

极大值点同理，只是需要A<0即可。

追问

那如果A>0且C0呢，按照你的意思C也可以拿来判断，可是如果这两个是矛盾的呢？

追答

很明显，AC异号的情况下，AC-B^2<0，此时不是极值点哦。

追问

明白了，多谢多谢