Question

已知数列{an}前n项和为Sn且对一切正整数n都有Sn=n^2+1/2an

已知数列{an}前n项和为Sn且对一切正整数n都有Sn=n^2+1/2an
是否存在实数a,使不等式（1-1/a1)(1-1/a2)(1-1/a3)...(1-1/an)<(2a^2-3)/(2a√2n+1)对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围

我已经算出an=2n

Answer 1

不知有没有理解错题目意思, 不等式右边的分母根号里面是2n+1吧由题意,(1-1/a1)(1-1/a2)(1-1/a3)...(1-1/an)/√(2n+1)<(2a�0�5-3)/2a相当于求 f(n)=(1-1/a1)(1-1/a2)(1-1/a3)...(1-1/an)/√(2n+1)的最大值f(n+1)=(1-1/a1)(1-1/a2)(1-1/a3)...(1-1/an)(1-1/a(n+1))/√(2n+3)∴f(n+1)/f(n)=[(1-1/a1)(1-1/a2)(1-1/a3)...(1-1/an)(1-1/a(n+1))/√(2n+3)]/[(1-1/a1)(1-1/a2)(1-1/a3)...(1-1/an)/√(2n+1)]=(1-1/a(n+1))√(2n+1)/√(2n+3)<1-1/a(n+1)<1∴f(n+1)<f(n),即f(n)递减∴f(n)最大值为 f(1)=(1-1/a1)/√3=1/2√3∴(2a�0�5-3)/2a>1/2√3, 即(2a�0�5-3)/a>1/√3(2a�0�5-3)/a-1/√3=(2a�0�5-√3a-3)/√3a=(a-√3)(2a+√3)/√3a>0∴a>√3或-√3/2<a<0