Question

已知函数 f(x)=2x- a x 的定义域为（0，1]（a为实数）．（1）当a=-1时，求函数y=f（x）的值域

已知函数 f(x)=2x- a x 的定义域为（0，1]（a为实数）．（1）当a=-1时，求函数y=f（x）的值域；（2）当a＞0时，判断函数y=f（x）的单调性并给予证明；（3）若f（x）＞5在定义域上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）显然函数y=f（x）的值域为 [ 2 2  ， +∞ ) ． （2）当a＞0时，y=f（x）在（0，1]上为单调递增函数．证明如下：任取x 1 ，x 2 ∈（0，1]，且x 1 ＜x 2 ， 则f（x 1 ）-f（x 2 ）= (  x 1 - x 2 ) ( 2+ a x 1 x 2  )＜0 ，所以y=f（x）在（0，1]上为单调递增函数． （3）当x∈（0，1]时，f（x）＞5在定义域上恒成立，即a＜2x 2 -5x在x∈（0，1]时恒成立． 设g（x）=2x 2 -5x，当x∈（0，1]时，g（x）∈[-3，0），只要a＜-3即可，即a的取值范围是（-∞，-3）．