Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（a-b） cosC=c（cosB-cos A）．（I）判断△ABC的形

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（a-b） cosC=c（cosB-cos A）．（I）判断△ABC的形状；（II）求y=cosA+sin（B+ π 6 ）的最大值，并求y取得最大值时角C的大小．

Answer 1

（I）在△ABC中，∵（a-b） cosC=c（cosB-cos A），由正弦定理可得 （sinA-sinB） cosC=sinC（cosB-cos A）， 化简可得 sin（A+C）=sin（B+C）， ∴sinB=sinA，由正弦定理可得 a=b，故△ABC为等腰三角形． （II）由（I）可得A=B∈（0， π 2 ），由于 y=cosA+sin（B+ π 6 ）=cosA+ 3 2 sin A+ 1 2 sinA= 3 2 cosA + 3 2 sinA = 3 sin（A+ π 3 ）， 故当 A+ π 3 = π 2 ，即 A= π 6 =B时，y max = 3 ，此时，C=π-（A+B）= 2π 3 ．