Question

在平面直角坐标系中，己知O为坐标原点，点A（3，0），B（0.4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得

在平面直角坐标系中，己知O为坐标原点，点A（3，0），B（0.4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转角为α．∠ABO为β． （I ）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；（II）如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系：（III）当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式（直接写出结果即可）．

Answer 1

（1）（ ， ）   （2）α=2β   （3）y= x﹣4

试题分析：（1）∵点A（3，0），B（0，4），得OA=3，OB=4， ∴在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB= =5， 根据题意，有DA=OA=3． 如图①，过点D作DM⊥x轴于点M， 则MD∥OB， ∴△ADM∽△ABO．有 ， 得 ， ∴OM= ， ∴ ， ∴点D的坐标为（ ， ）． （2）如图②，由已知，得∠CAB=α，AC=AB， ∴∠ABC=∠ACB， ∴在△ABC中， ∴α=180°﹣2∠ABC， ∵BC∥x轴，得∠OBC=90°， ∴∠ABC=90°﹣∠ABO=90°﹣β， ∴α=2β； （3）若顺时针旋转，如图，过点D作DE⊥OA于E，过点C作CF⊥OA于F， ∵∠AOD=∠ABO=β， ∴tan∠AOD= = ， 设DE=3x，OE=4x， 则AE=4x﹣3， 在Rt△ADE中，AD 2 =AE 2 +DE 2 ， ∴9=9x 2 +（4x﹣3） 2 ， ∴x= ， ∴D（ ， ）， ∴直线AD的解析式为：y= x﹣ ， ∵直线CD与直线AD垂直，且过点D， ∴设y=﹣ x+b，把D（ ， ）代入得， =﹣ × +b， 解得b=4， ∵互相垂直的两条直线的斜率的积等于﹣1， ∴直线CD的解析式为y=﹣ ． 同理可得直线CD的另一个解析式为y= x﹣4． 点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解释式等知识点，本题关键在于结合图形找到相似三角形，求相关线段的长度和有关点的坐标．