Question

已知函数 有三个极值点。（1）证明：-27＜c＜5；（2）若

已知函数 有三个极值点。（1）证明：-27＜c＜5；（2）若存在实数c，使函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，求a的取值范围。

Answer 1

解：（1）因为函数 有三个极值点， 所以 有三个互异的实根 设 ，则 当x＜-3时， ，g（x）在（-∞，-3）上为增函数， 当-3＜x＜1时， ，g（x）在（-3，1）上为减函数， 当x＞1时， ，g（x）在（1，+ ∞）上为增函数 所以函数g（x）在x=-3时取极大值，在x=1时取极小值 当g（-3） ≤0或g（1） ≥0时，g（x）=0最多只有两个不同实根， 因为g（x）=0有三个不同实根， 所以g（-3）＞0，且g（1）＜0 即-27+27+27+c＞0，且1+3-9+c＜0， 解得c＞-27，且c＜5 故-27＜c＜5。 （2）由（1）的证明可知，当-27＜c＜5时，f（x）有三个极值点 不妨设为x 1 ，x 2 ，x 3 （x 1 ＜x 2 ＜x 3 ），则 所以f（x）的单调递减区间是 若f（x）在区间[a，a+2]上单调递减 则 ，或 若 ，则 由（1）知， ，于是 若 ，则 ，且 由（1）知， 又 ，当 时， 当 时， 因此，当 时， 所以 ，且 ，即 故 ，或 反之，当 或 时，总可以找到 使f（x）在区间 上单调递减 综上所述，a的取值范围是 。