Question

已知函数f（x）=a|x|+2ax（a＞0，a≠1）（1）若a＞1，且关于x的方程f（x）=m有两个不同的正数解，求实数m

已知函数f（x）=a|x|+2ax（a＞0，a≠1）（1）若a＞1，且关于x的方程f（x）=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；（2）设函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a无关．试求a的取值范围．

Answer 1

（1）令a^x=t，x＞0，
∵a＞1，所以t＞1，
∴关于x的方程f（x）=m有两个不同的正数解转化为：方程t+

2

t

=m有相异的且均大于1的两根，
∴

m2-8＞0 m 2 ＞1 12-m+2＞0

解得2

2

＜m＜3，
故实数m的取值范围是（2

2

，3）．
（2）g（x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞）
①当a＞1时，
x≥0时，a^x≥1，g（x）=3a^x，所以g（x）∈[3，+∞），
-2≤x＜0时，

1

a2

≤ax＜1，g（x）=a^-x+2a^x，所以g′（x）=-a^-xlna+2a^xlna=

2(ax)2-1

ax

lna，
ⅰ当

1

a2

＞

1 2

即1＜a＜

4	2

时，对?x∈（-2，0），g′（x）＞0，所以g（x）在[-2，0）上递增，
所以g（x）∈[a²+

2

a2

，3），
综上：g（x）有最小值为a²+

2

a2

与a有关，不符合（10分）
ⅱ当

1

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