Question

如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AH⊥BC，交BD于E，垂足为H，已知CH=4，AH=8（1）求菱形

如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AH⊥BC，交BD于E，垂足为H，已知CH=4，AH=8（1）求菱形的周长；（2）求OE的长度．

Answer 1

解：（1）设AB=x，则BC=x，BH=BC﹣CH=x﹣4， 在Rt△ABH中，AH 2 +BH 2 =AB 2 ， ∴8 2 +（x﹣4） 2 =x 2 ，解得x=10， ∴菱形周长为40． （2）由菱形ABCD可得∠ADE=∠CDE，AD=CD，又DE=DE，∴AE=CE， 设AE=y，则CE=y，EH=AH﹣AE=8﹣y， 在Rt△EHC中，EH 2 +CH 2 =CE 2 ， ∴（8﹣y） 2 +4 2 =y 2 ，解得y=5， ∴AE=5，EH=3，BH=BC﹣CH=10﹣4=6， 在Rt△BEH中，BE 2 =BH 2 +EH 2 =6 2 +3 2 =45，BE= ， 在Rt△AED中，DE 2 =AE 2 +AD 2 =5 2 +10 2 =125，DE= ， ∴BD=BE+DE= + = ． 根据菱形的性质得： ， ∴ ．