Question

（2013?枣庄一模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=4，AE=EF=2． （1

（2013?枣庄一模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=4，AE=EF=2． （1）若G为BC的中点，求证：FG∥平面BDE；（2）求证：AF⊥平面FBC．

Answer 1

（1）设直线AC、BD相交于点O，连结OE、OG，
∵矩形ABCD中，O是AC的中点，G为BC的中点
∴OG是△ABC的中位线，可得OG=

1

2

AB且OG∥AB
又∵EF∥AB，且EF=

1

2

AB，
∴EF∥OG且EF=OG，可得四边形EFGO是平行四边形
由此可得FG∥EO
∵FG?平面BDE，OE?平面BDE，
∴FG∥平面BDE；
（2）∵EA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴EA⊥BC
又∵BC⊥AB，AB∩EA=A，∴BC⊥平面ABEF
∵AF?平面ABEF，∴AF⊥BC
∵直角梯形AEFB中，AB=4，AE=EF=2
∴AF=BF=2

2

，可得AF²+BF²=16=AB²，
∴△ABF是以AB为斜边的直角三角形，可得AF⊥BF
∵BF、BC是平面FBC内的相交直线
AF⊥平面FBC．