Question

如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC．（1）求异面直线A1D与B1B所成角的正切

如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC．（1）求异面直线A1D与B1B所成角的正切值；（2）证明：A1C⊥平面BED；（3）求二面角A1-DE-B的余弦值．

Answer 1

解：如图，建立空间直角坐标系D-xyz．
则B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，4）．

DE

＝(0，2，1)，

DB

＝(2，2，0)，

A1C

＝(?2，2，?4)，

DA1

＝(2，0，4)
（1）解：
∵AA₁∥BB₁
∴∠AA₁D是异面直线A₁D与B₁B所成角
∵在Rt△AA₁D中，A₁A=4，AD=2
∴tan∠AA1D＝

1

2

即异面直线A₁D与B₁B所成角的正切值为

1

2

（2）证明：
∵

A1C

?

DB

＝?4+4+0＝0，

A1C

?

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