Question

设向量组α1，α2，…，αs-1（s≥3）线性无关，向量组α2，α3，…，αs线性相关，则（　　）A．α1可被

设向量组α1，α2，…，αs-1（s≥3）线性无关，向量组α2，α3，…，αs线性相关，则（　　）A．α1可被α2，α3，…，αs线性表示，αs可被α1，α2，…，αs-1线性表示B．α1可被α2，α3，…，αs线性表示，αs不可被α1，α2，…，αs-1线性表示C．α1不可被α2，α3，…，αs线性表示，αs可被α1，α2，…，αs-1线性表示D．α1不可被α2，α3，…，αs线性表示，αs不可被α1，α2，…，αs-1线性表示

Answer 1

选C，简单分析一下即可，详情如图所示

Answer 2

由向量组α₂，α₃，…，α_s线性相关，知向量组α₁，α₂，…，α_s-1，α_s线性相关
因此存在一组不全为零的实数k_i（i=1，2，…，s），使得
k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s=0
①若k_s=0，则上式变为
k₁α₁+k₂α₂+…+k_s-1α_s-1=0
这样实数k_i（i=1，2，…，s-1）不全为零，
从而向量组α₁，α₂，…，α_s-1线性相关，这与已知矛盾
故k_s≠0
所以αs＝?

1

ks

(k1α1+k2α2+…+ks?1αs?1)
即α_s可被α₁，α₂，…，α_s-1线性表示
②若k₁≠0，则α₁可被α₂，α₃，…，α_s线性表示
此时r（α₂，α₃，…，α_s）=r（α₁，α₂，α₃，…，α_s）
而向量组α₂，α₃，…，α_s线性相关，因而
r（α₂，α₃，…，α_s）＜s-1
从而r（α₁，α₂，α₃，…，α_s）＜s-1
又已知向量组α₁，α₂，…，α_s-1线性无关，可得r（α₁，α₂，α₃，…，α_s）＞s-1
矛盾
故k₁=0，即α₁不可被α₂，α₃，…，α_s线性表示
故选：C

Answer 3

由向量组α2，α3，…，αs线性相关，知向量组α1，α2，…，αs-1，αs线性相关因此存在一组不全为零的实数ki（i=1，2，…，s），使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0①若ks=0，则上式变为k1α1+k2α2+…+ks-1αs-1=0这样实数ki（i=1，2，…，s-1）不全为零，从而向量组α1，α2，…，αs-1线性相关，这与已知矛盾故ks≠0所以αs＝?1ks(k1α1+k2α2+…+ks?1αs?1)即αs可被α1，α2，…，αs-1线性表示②若k1≠0，则α1可被α2，α3，…，αs线性表示此时r（α2，α3，…，αs）=r（α1，α2，α3，…，αs）而向量组α2，α3，…，αs线性相关，因而r（α2，α3，…，αs）＜s-1从而r（α1，α2，α3，…，αs）＜s-1又已知向量组α1，α2，…，αs-1线性无关，可得r（α1，α2，α3，…，αs）＞s-1矛盾故k1=0，即α1不可被α2，α3，…，αs线性

表示故选：C