Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C=2A，cosA= 3 4 ．（Ⅰ）求cosC，cosB的值；（Ⅱ

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C=2A，cosA= 3 4 ．（Ⅰ）求cosC，cosB的值；（Ⅱ）若 BA ? BC = 27 2 ，求边AC的长．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可得 cosC=cos2A=2cos 2 A-1= 1 8 ，…1分 故 sinC= 63 8 ．…2分 由 cosA= 3 4 得 sinA= 7 4 ．…3分 ∴cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC= 9 16 ．…4分 （Ⅱ）∵ BA ? BC = 27 2 ， ∴ac?cosB= 27 2 ，ac=24．…6分 ∵ a sinA = c sinC ，C=2A， ∴c=2acosA= 3 2 a， 解得 a=4，c=6，…8分 再由余弦定理可得 b 2 =a 2 +c 2 -2accosB=25，故b=5． 即边AC的长为 5． …10分