Question

如果函数 z=f（x，y）的两个偏导数在点（x，y）都存在且连续，则该函数在该点可微。

这个函数的两个偏导数在（0.0）处存在都为0，偏导数存在则偏导数连续，但是这整个函数在（0,0）不连续不可微，这和定理相悖啊

Answer 1

不相悖，在某点的偏导数存在，并不能保证函数在该点连续，更不能保证在该点可微。

例如本例，在（0，0）点偏导都存在，但是当（x，y）趋近于（0，0）时的极限都不存在，更不要说连续了。

偏导数在（x，y）连续，即f（x，y）在（x，y）连续可微，连续可微是可微的充分条件，但不是必要条件，所以这个是充分不必要条件。

x方向的偏导

设有二元函数z=f（x，y），点（x0，y0）是其定义域D内一点。把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数z=f（x，y）有增量（称为对x的偏增量）△z=f（x0+△x，y0）-f（x0，y0）。

如果△z与△x之比当△x→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f（x，y）在（x0，y0）处对x的偏导数，记作f'x（x0，y0）或函数z=f（x，y）在（x0，y0）处对x的偏导数，实际上就是把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f（x，y0）在x0处的导数。

Answer 2

不相悖，在某点的偏导数存在，并不能保证函数在该点连续，更不能保证在该点可微。例如本例，在（0，0）点偏导都存在，但是当（x,y)趋近于（0，0）时的极限都不存在，更不要说连续了。

Answer 3

偏导数存在就连续？

追问

不是可导必连续么，能以此题帮忙分析下全微分的这个定理么

追答

那是一元的结论，而且当时是对原函数f来说连续，也不是对f'说的。
二元无此说法，

追问

二元偏导数连续代表这什么，为什么由二元偏导连续可以退出可微来

追答

1，偏导数连续就是偏导函数在零点附近都差不多，
2，随便一本微积分书都有证明。