Question

如图在平行四边形ABCD中对角线AC，BD相交于O

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Answer 1

（1）

延长CA交BE延长线于P。

∵点E为点B关于直线AC的对称点，

∴直线AC是线段BE的垂直平分线，

∴BP=PE，∠BPC=90°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB=OD（平行四边形对角线互相平分），

∴OP是△BDE的中位线，

∴OP//DE，

∴∠BED=∠BPC=90°

（2）

证明：【只用平行四边形对角线互相平分及三角形中位线来证明，稍麻烦】

∵AC垂直平分BE，

∴AE=AB（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），

∴∠AEB=∠ABE，

∵BF⊥BE，

∴∠EBF=90°，

∴∠AEB+∠F=90°，∠ABE+∠ABF=90°，

∴∠F=∠ABF，

∴AF=AB，

∴AE=AF，

∵PE=PB，

∴PA是△EBF的中位线，

∴BF=2PA，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AC=2AO，

∵PO是△BDE的中位线，

∴DE=2OP=2（AO+PA）=AC+BF。