Question

设A是n阶矩阵。证明：非齐次线性方程组AX=b对任何b都有解的充要条件是|A|不等于0

Answer 1

充分性：
∵A是n阶矩阵,且|A|≠0
∴秩r(A)=n,即满秩,∴增广矩阵r(A,b)=n
∵r(A)=r(A,b)=n
∴非齐次线性方程组Ax=b对任何b都有解.
必要性：
假设|A|=0,即r(A)＜n,
若此时给出一个b无法用A的向量线性表示,即增广矩阵r(A,b)＞r(A)
那么此时非齐次线性方程组Ax=b就无解,请看例子：
设A是：b是：
1 0 0 1
0 1 0 1
0 2 0 1
此时|A|=0,r(A)=2,r(A,b)=3,Ax=b无解
因此当|A|=0时,不能保证非齐次线性方程组Ax=b对任何b都有解,
∴假设|A|=0不成立,→|A|≠0
总结：对于非齐次线性方程组Ax=b（设A是n阶矩阵）
① r(A)=r(A,b)＜n,方程组有无穷多解.
② r(A)＜r(A,b)≤n,方程组无解.
③ r(A)=r(A,b)=n,方程组有且仅有唯一解.