Question

幂级数的题目

幂级数的题目如图求大神写过程

Answer 1

解：∵ρ=lim(n→∞)丨(an+1)/an丨=lim(n→∞)(n+2)/(n+1)=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。
又，lim(n→∞)丨(un+1)/un丨=丨x丨/R<1，∴收敛区间为丨x丨<1。
而，x=±1时，级数∑(n+1)x^(n+1)=∑(n+1)(±1)^(n+1)，均发散。∴其收敛域为丨x丨<1。
设S(x)=∑(n+1)x^n，∴在其收敛区间内，有S(x)=∑(n+1)x^n=[∑x^(n+1)]'=[x/(1-x)]'=1/(1-x)²，∴原式=xS(x)=x/(1-x)²。
显然，∑(n+1)/3^n=S(1/3)，且x=1/3在其收敛域内，∴∑(n+1)/3^n=1/(1-1/3)²=9/4。
供参考。