Question

y''=y'+x求此微分方程的通解。

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

看这个解法：
由y''=y'+x
积分一次可得：y'=y+A+(1/2)*x^{2}
令z=y+A，可得：z'=z+(1/2)*x^{2}
即：z'-z=(1/2)*x^{2}
上面这个方程很简单，可用如下方法求得通解：
先解z'-z=0的通解为：z=B*e^{x}
然后令z=B(x)*e^{x}为z'-z=(1/2)*x^{2}的通解，
带入化简可得：B'=(1/2)*x^{2}e^{-x}
积分得：B(x)=-[(1/2)*x^{2}+x+1]*e^{x}+C
带回可得：z=C*e^{x}-[(1/2)*x^{2}+x+1]
进而可得：y=C*e^{x}-[(1/2)*x^{2}+x+1]-A
即：y=C*e^{x}-(1/2)*x^{2}-x-(1+A)