Question

1^2+2^2+……+n^2

Answer 1

简单计算一下即可，详情如图所示

Answer 2

1^2+2^2+……+n^2
我们利用公式(x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1
然后左边让x分别等于1
2
3
……一直到n两边求和
左边消去中间项得
(n+1)^3=3(1^2+2^2+……+n^2)+3(1+2+……+n)+n
即1^2+2^2+……+n^2=1/3[(n+1)^3-3/2n(n+1)-n]
右边整理
分解因式得
1^2+2^2+……+n^2
=1/6n(n+1)(2n+1)

Answer 3

利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,
可以得到(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
...
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1
把这n个等式两端分别相加，
得(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,代人上式得n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 4

(1^2+2^2+...+n^2)=1/6*(n+1)(2n+1)n啦
证明：
（1+1）^3-1^3=3*1^2+3*1+1
（2+1）^3-2^3=3*2^2+3*2+1
（3+1）^3-3^3=3*3^2+3*3+1
（4+1）^3-4^3=3*4^2+3*4+1
……………………………………
……………………………………
（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1
各项相加：
（n+1）^3-1=(1^2+2^2+...+n^2)+3(n+1)n/2+n
而（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1
所以(1^2+2^2+...+n^2)=1/6*(n+1)(2n+1)n